Question

2．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S_n，若a₂，a₇，a₂₂成等比数列，S₄=48．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+6d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+21d）}\\{4{a}_{1}+6d=48}\end{array}\right.$，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（I）、裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+6d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+21d）}\\{4{a}_{1}+6d=48}\end{array}\right.$，
解得：a₁=6，d=4，
∴a_n=6+4（n-1）=4n+2；
（Ⅱ）由（I）知：S_n$\frac{n（6+4n+2）}{2}$=2n（n+2），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．