Question

14．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．

x	3	4	5	6
y	2.5	m	4	4.5

已知y关于x的线性回归方程为$\widehat{y}$=0.7x+0.35，根据上表提供的数据，
（1）求表中实数m的值；                
（2）求样本点的中心坐标；
（3）若该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

Answer 1

分析 （1）求出样本中心点代入，求出m的值；
（2）根据上一问，求样本点的中心坐标；
（3）把x=100代入线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量．

解答 解：（1）$\overline x=\frac{3+4+5+6}{4}=4.5$，…（1分）
$\overline y=\frac{2.5+m+4+4.5}{4}$，…（2分）
由线性回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$，知$\widehatb=0.7$，$\widehata=0.35$，…（3分）
∵$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$，∴$0.35=\frac{2.5+m+4+4.5}{4}-0.7×4.5$，…（5分）
解得m=3．…（7分）
（2）$\overline y=\frac{2.5+m+4+4.5}{4}=\frac{2.5+3+4+4.5}{4}=3.5$，…（8分）
∴样本点的中心坐标为：（4.5，3.5）．…（10分）
（3）将x=100代入y=0.7x+0.35，得y=0.7×100+0.35=70.35，…（13分）
∴预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90-70.35=19.65（吨）．…（14分）

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题是非常符合新课标中对于线性回归方程的要求，注意通过这个题目掌握一类问题，注意数字的运算．