Question

3．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₂₀₁₅=a₂₀₁₄+2a₂₀₁₃，若数列中存在两项a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 由a₂₀₁₅=a₂₀₁₄+2a₂₀₁₃，求得q=2，代入$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：由各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₂₀₁₅=a₂₀₁₄+2a₂₀₁₃，
可得a₂₀₁₃q²=a₂₀₁₃q+2a₂₀₁₃，
∴q²-q-2=0，∴q=2．
∵$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，
∴q^m+n-2=16，∴2^m+n-2=2⁴，
∴m+n=6，
∴$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=$\frac{3}{2}$，
当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$时，等号成立．
故$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值等于$\frac{3}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于中档题．