Question

8．已知函数f（x）=ax³-3x．
（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若在区间[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=4代入函数解析式，得到函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，得到对应的关于函数的最小值的不等式，从而求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x³-3x，f′（x）=12x²-3，
令f′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{2}$或x＜-$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）递减；
∴函数f（x）的极大值是f（-$\frac{1}{2}$）=1，极小值是f（$\frac{1}{2}$）=-1；
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax²-3，令f′（x）=3a（x+$\sqrt{\frac{1}{a}}$）（x-$\sqrt{\frac{1}{a}}$）=0，
解得：x=±$\sqrt{\frac{1}{a}}$，
当2≤$\sqrt{\frac{1}{a}}$时，即0＜a≤$\frac{1}{4}$时，f（x）在区间[1，2]单调递减，
∴f（x）_最小值=f（2）=8a-6≥4，解得：a≥$\frac{5}{4}$，不合题意，舍；
当1＜$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜2时，即$\frac{1}{4}$＜a＜1时，f（x）在区间[1，$\sqrt{\frac{1}{a}}$]递减，在[$\sqrt{\frac{1}{a}}$，2]递增，
∴f（x）_最小值=f（$\sqrt{\frac{1}{a}}$）=-2$\sqrt{\frac{1}{a}}$≥4，无解，舍；
当$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤1时，即a≥1时，f（x）在区间[1，2]单调递增，
∴f（x）_最小值=f（1）=a-3≥4，解得：a≥7，符合题意，
综上，正实数a的范围是：a≥7．

点评 本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于中档题．