Question

13．如图，过圆O外一点P引圆的两条割线分别交圆O于A、B、C、D四点．
（Ⅰ）若AC=AP，求证：BD=PD．
（Ⅱ）若PA=$\frac{1}{2}$AB，PC=CD，求$\frac{AB}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明∠B=∠P，即可证明BD=PD．
（Ⅱ）设PA=x，PC=y，则PB=3x，PD=2y，由割线定理求$\frac{AB}{CD}$的值．

解答 （Ⅰ）证明：∵AC=AP，∴∠ACP=∠P，
∵∠ACP=∠B，
∴∠B=∠P，
∴BD=PD．
（Ⅱ）解：设PA=x，PC=y，则PB=3x，PD=2y，
由割线定理得3x²=2y²，∴$\frac{x}{y}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{2x}{y}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查圆的内接四边形的性质，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．