Question

18．设函数f（x）=x²-2x+1+alnx存在极大值和极小值，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 函数f（x）既有极大值，又有极小值，得f′（x）=0在（0，+∞）内有两个不等实根，可得2x²-2x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，即可求实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）既有极大值，又有极小值，
∴f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$=0在（0，+∞）内有两个不等实根，
∴2x²-2x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，
令g（x）=2x²-2x+a，则$\left\{\begin{array}{l}{△=4-8a＞0}\\{g（0）=a＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，考查不等式的证明．