Question

9．已知9^x-3^x+1-k≥0在[1，2]上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 设3^x=t，用换元法把9^x-3^x+1化成t²-3t+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$，转化为求二次函数的最值，即可求出答案．

解答 解：设3^x=t，∵1≤x≤2，则3≤t≤9，
原式可化为：9^x-3^x+1≥k，令y=9^x-3^x+1=t²-3t+$\frac{9}{4}$-$\frac{9}{4}$，
=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，当3≤t≤9时，y为增函数，
故当t=3时，y取最小值0，
要使等式9^x-3^x+1-k≥0在[1，2]上恒成立，只需y的最小值≥k即可，
∴k≤0．

点评 本题考查了函数恒成立问题，难度一般，关键是掌握换元法的应用．