Question

19．如图，△ABC是圆内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点F，过点B圆的切线与CD的延长线交于点E．
（1）求证；∠EBD=∠CBD．
（2）若DE=2，DC=3，求边BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用角与弧的关系，得到角相等；
（2）利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵BE是切线，由弦切角定理，∴∠EBD=∠DAB  …（1分）
∵∠DAC，∠CBD是同弧上的圆周角，∴∠CBD=∠DAC   …（2分）
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC  …（3分）
∴∠EBD=∠CBD  …（4分）
（2）解：∵BE是切线，由切割线定理，EB²=ED•EC=10，
∴EB=$\sqrt{10}$…（6分）
由弦切角定理，∠EBD=∠DCB    …（7分）
∴由（1）知，∠EBD=∠CBD=∠DCB，∴DC=DB=3 …（8分）
∵∠BED=∠CED，
∴△BED∽△CEB …（10分）
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{EC}{BE}$，∴$\frac{BC}{3}=\frac{5}{\sqrt{10}}$，
∴BC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$  …（12分）

点评 本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于中档题．