Question

5．已知函数f₀（x）=xcosx（x∈R），记f_n（x）为f_n-1（x）的导数，n∈N^*．
（1）求f₁（$\frac{π}{4}$）+f₂（$\frac{π}{4}$）+f₃（$\frac{π}{4}$）+f₄（$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求f_n（x）（n∈N^*）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据f_n（x）为f_n-1（x）的导数，分别求出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），再带值计算即可；
（2）由（1）猜想f_n（x）=nsin（$\frac{n}{2}$π+x）+xcos（$\frac{n}{2}$π+x），用数学归纳法进行证明等式成立．

解答 解：（1）f₁（x）=f₀′（x）=cosx-xsinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-（sinx+xcosx）=-2sinx-xcosx，
f₃（x）=f₂′（x）=-3cosx+xsinx，
f₄（x）=f₃′（x）=4sinx+xcosx，
∴f₁（$\frac{π}{4}$）+f₂（$\frac{π}{4}$）+f₃（$\frac{π}{4}$）+f₄（$\frac{π}{4}$）=2sin$\frac{π}{4}$-2cos$\frac{π}{4}$=0，
（2）由（1）猜想f_n（x）=nsin（$\frac{n}{2}$π+x）+xcos（$\frac{n}{2}$π+x），
下面用数学归纳法进行证明等式成立：
①当n=1时，f₁（x）=sin（$\frac{1}{2}$π+x）+xcos（$\frac{1}{2}$π+x）=cosx-xsinx，等式成立，
②假设n=k（k≥2且k∈N^*）时等式成立，即f_k（x）=ksin（$\frac{k}{2}$π+x）+xcos（$\frac{k}{2}$π+x），
那么当n=k+1时，f_k+1（x）=f_k′（x）=kcos（$\frac{k}{2}$π+x）+cos（$\frac{k}{2}$π+x）-xsin（（$\frac{k}{2}$π+x），
=（k+1）cos（$\frac{k}{2}$π+x）-xsin（$\frac{k}{2}$π+x），
=（k+1）sin（$\frac{k+1}{2}$π+x）+xcos（$\frac{k+1}{2}$π+x）．
∴当n=k+1时等式成立，
由①②得f_n（x）=nsin（$\frac{n}{2}$π+x）+xcos（$\frac{n}{2}$π+x），（n∈N^*）．

点评 本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，属于中档题．