Question

13．已知正三棱锥P-ABC，M和N分别为AB、PA的中点，MN⊥CN，若PA=1，则此正三棱锥的外接球表面积为（　　）

• A． 5π
• B． 4π
• C． 3π
• D． 2π

Answer 1

分析 证明以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，求出半径即可求解球的表面积．

解答 解：∵M和N分别为AB、PA的中点，∴MN∥PB，
∵P-ABC是正三棱锥，
∴PB⊥AC（对棱垂直），
∴MN⊥BC，
又MN⊥CN，而CN∩BC=C，
∴MN⊥平面PAC，
∴PB⊥平面PAC，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
以PA、PB、PC为从同一点P出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，
又PA=1，
∴2R=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为：4πR²=3π．
故选：C．

点评 本题考查几何体的外接球的表面积的求法，判断几何体与球的关系，求出球的半径是解题的关键．