Question

13．有甲乙两种产品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入资金x（万元）的关系式为P=$\frac{1}{5}$x，Q=$\frac{3}{5}$$\sqrt{x}$．今有3万元资金投入这两种商品．
（1）求：经销两种商品所获得的总利润y的函数关系式．
（2）为获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）利用“总利润=$\frac{1}{5}$•甲商品的投入+$\frac{3}{5}$•$\sqrt{乙商品的投入}$”即可列出表达式；
（2）通过换元，令t=$\sqrt{3-x}$（0≤t≤$\sqrt{3}$），通过配方可知y=-$\frac{1}{5}$$（t-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{21}{20}$，进而计算可得结论．

解答 解：（1）设对甲种商品投资x万元，获总利润为y万元，
则对乙种商品的投资为（3-x）万元，
∴y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{3}{5}$•$\sqrt{3-x}$ （0≤x≤3）；
（2）令t=$\sqrt{3-x}$（0≤t≤$\sqrt{3}$），则x=3-t²，
∴y=$\frac{1}{5}$（3-t²）+$\frac{3}{5}$t=-$\frac{1}{5}$$（t-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{21}{20}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，y_max=$\frac{21}{20}$=1.05（万元）；
由t=$\sqrt{3-x}$=$\frac{3}{2}$可求得x=0.75（万元）、3-x=2.25（万元），
∴为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，
此时获得最高利润1.05万元．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，注意解题方法的积累，属于基础题．