Question

8．设函数f（x）=4sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为π，设向量$\overrightarrow{a}$=（-1，f（x）），$\overrightarrow{b}$=（f（-x），1），g（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）的递增区间；
（2）求函数g（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值；
（3）若x∈[0，2015π]，求满足$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$的实数x的个数．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）的最小正周期为π，求出ω值，得到函数的解析式，利用y=sinx的单调增区间，求出f（x）的单调增区间即可；
（2）求出函数g（x）的解析式，结合正弦函数的图象和性质，求出x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]时，函数的值域，可得函数g（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值；
（3）满足$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$时，x=$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，结合x∈[0，2015π]，可得满足条件的实数x的个数．

解答 解：（1）∵函数f（x）=4sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为π，
∴ω=2，
∴f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z得：
2x∈[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
即x∈[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
（2）∵向量$\overrightarrow{a}$=（-1，f（x）），$\overrightarrow{b}$=（f（-x），1），
∴g（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-f（-x）+f（x）=-4sin（-2x+$\frac{π}{3}$）+4sin（2x+$\frac{π}{3}$）=4sin2x，
∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴4sin2x∈[2$\sqrt{2}$，4]，
即函数g（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值为4，最小值为2$\sqrt{2}$；
（3）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4sin2x=0，
则2x=kπ，k∈Z，
x=$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
又∵x∈[0，2015π]，
故k的值有2×2015+1=4031个．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域的知识，考查计算能力．