Question

18．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，D是BC的中点，AA₁=AB=AC=2，
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求三棱锥A₁-B₁DA的体积．

Answer 1

分析 （1）由正三棱柱的几何特征可得AD⊥B₁B，由等边三角形三线合一，可得AD⊥BD，结合线面垂直及面面垂直的判定定理，可依次证得AD⊥平面B₁BCC₁及平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）连接A₁B，交AB₁于E，连DE，由三角形中位线定理可得DE∥A₁C，进而根据线面平行的判定定理可得A₁C∥平面AB₁D．
（3）利用等体积转化，即可求三棱锥A₁-B₁DA的体积．

解答 （1）证明：因为B₁B⊥平面ABC，AD?平面ABC，
所以AD⊥B₁B    
因为D为正△ABC中BC的中点，
所以AD⊥BD    
又B₁B∩BC=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁   
又AD?平面AB₁D，故平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁    
（2）证明：连接A₁B，交AB₁于E，连DE    
因为点E为矩形A₁ABB₁对角线的交点，所以E为AB₁的中点 
又D为BC的中点，所以DE为△A₁BC的中位线，
所以DE∥A₁C   
又DE?平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D；
（3）解：三棱锥A₁-B₁DA的体积等于三棱锥D-A₁B₁A的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥A₁-B₁DA的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．