Question

10．设关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，
（Ⅰ）求（1+x₁）（1+x₂）的值；
（Ⅱ）求证x₁＜-1且x₂＜-1；
（Ⅲ）如果$\frac{x_1}{x_2}∈[{\frac{1}{10}，10}]$，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二次方程的韦达定理，计算即可得到所求值；
（Ⅲ）由方程的判别式大于等于0，和对称轴x＜-1，结合f（-1）＞0，即可得证；
（Ⅲ）运用韦达定理和对勾函数的性质，结合a＞0，判别式非负，计算即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）∵关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，
由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{1}{a}$，x₁x₂=$\frac{1}{a}$，
则（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁•x₂=1-$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{a}$=1，
（Ⅱ）证明：由方程的△≥0，
可推得二次函数f（x）=ax²+x+1图象的对称轴x=-$\frac{1}{2a}$＜-1，
又由于f（-1）=a＞0，
所以f（x）的图象与x轴的交点均位于（-1，0）的左侧，
故x₁＜-1且x₂＜-1；
（Ⅲ）由$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{1}{a}\\{x_1}•{x_2}=\frac{1}{a}\end{array}\right.⇒\frac{{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}}}{{{x_1}•{x_2}}}=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+2=\frac{1}{a}$，
∵$\frac{x_1}{x_2}∈[{\frac{1}{10}，10}]$，∴$\frac{1}{a}=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+2∈[{4，\frac{121}{10}}]⇒a∈[{\frac{10}{121}，\frac{1}{4}}]$，
结合$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=1-4a≥0\end{array}\right.⇒0＜a≤\frac{1}{4}$，
可得a的取值范围为$[{\frac{10}{121}，\frac{1}{4}}]$．

点评 本题考查二次方程的韦达定理的运用，以及二次函数的图形和性质的运用，考查运算能力，属于中档题．