Question

5．若数列{a_n}满足a_n+1=a_n²+a_n，且a₁=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{{1+{a_n}}}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$
（Ⅲ）记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[-3.6]=-4等．设b_n=$\frac{1}{{1+{a_n}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n．求[T₂₀₁₅]．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n+1=a_n²+a_n，直接代入计算即可；
（Ⅱ）通过对${a_{n+1}}=a_n^2+{a_n}$两边同时取倒数，整理即得结论；
（Ⅲ）通过（Ⅱ）及${b_n}=\frac{1}{{1+{a_n}}}$，并项相加可知T_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，进而T₂₀₁₅=2-$\frac{1}{{a}_{2016}}$，利用a_n+1-a_n=${{a}_{n}}^{2}$可知数列{a_n}是递增数列，利用a₂₀₁₆＞a₄＞2、计算即得结论．

解答 （Ⅰ）解：a₂=${{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=${{a}_{2}}^{2}+{a}_{2}$=$\frac{9}{16}+\frac{3}{4}$=$\frac{21}{16}$；
（Ⅱ）证明：∵${a_{n+1}}=a_n^2+{a_n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{1+a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{1+{a_n}}}=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）及${b_n}=\frac{1}{{1+{a_n}}}$可知：
T_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
又∵a₁=$\frac{1}{2}$，
∴T₂₀₁₅=2-$\frac{1}{{a}_{2016}}$，
又∵${a_{n+1}}=a_n^2+{a_n}$，
∴a_n+1-a_n=${{a}_{n}}^{2}$≥0，
∴数列{a_n}是递增数列，
∵a₄=$\frac{21}{16}$（$\frac{21}{16}$+1）＞2，
∴a₂₀₁₆＞a₄＞2，
∴0＜$\frac{1}{{a}_{2016}}$＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{3}{2}$＜2-$\frac{1}{{a}_{2016}}$＜2，
∴[T₂₀₁₅]=1．

点评 本题是一道关于数列求和的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．