Question

16．已知x＞0，y＞0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 x＞0，y＞0，且xy=x+2y，可得y=$\frac{x}{x-2}$＞0，解得x＞2．变形x+y=x+$\frac{x}{x-2}$=（x-2）+$\frac{2}{x-2}$+3，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且xy=x+2y，
∴y=$\frac{x}{x-2}$＞0，解得x＞2．
则x+y=x+$\frac{x}{x-2}$=（x-2）+$\frac{2}{x-2}$+3$≥2\sqrt{（x-2）•\frac{2}{x-2}}$+3=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当x=2+$\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$+1时取等号．
∴x+y的最小值为3+2$\sqrt{2}$．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．