Question

8．以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题：
①极坐标为$（3\sqrt{2}，\frac{3}{4}π）$的点P所对应的复数是-3+3i；
②ρcosθ=1与曲线x²+y²=y无公共点；
③圆ρ=2sinθ的圆心到直线2ρcosθ-ρsinθ+1=0的距离是$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
④θ=$\frac{π}{4}$．（ρ＞0）与曲线$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数）相交于点P，则点P的直角坐标是$（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
其中真命题的序号是①②．

Answer 1

分析 ①把极坐标化为直角坐标系内的点即可；
②把极坐标方程化为普通方程，由圆心到直线的距离d与半径r的关系即可得出结论；
③把极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离即可判断正误；
④把极坐标方程、参数方程化为普通方程，求出它们的交点坐标即可．

解答 解：对于①，极坐标为$（3\sqrt{2}，\frac{3}{4}π）$的点P对应的平面直角坐标系的点为
（3$\sqrt{2}$cos$\frac{3π}{4}$，3$\sqrt{2}$sin$\frac{3π}{4}$），即（-3，3），
它在复平面内对应的复数为-3+3i，∴①正确；
对于②，极坐标方程ρcosθ=1化为普通方程是x=1，
且曲线x²+y²=y化为标准方程是x²+${（y-\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，
则圆心（0，$\frac{1}{2}$）到直线x=1的距离为
d=1＞$\frac{1}{2}$，
∴d＞r，
∴直线与圆无公共点，②正确；
对于③，圆ρ=2sinθ化为普通方程是
x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1，
直线2ρcosθ-ρsinθ+1=0化为普通方程是
2x-y+1=0，
则圆心C（0，1）到直线l的距离为
d=$\frac{|2×0-1+1|}{\sqrt{{2}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴③错误；
对于④，极坐标方程θ=$\frac{π}{4}$，（ρ＞0）化为普通方程是y=x（x＞0），
曲线$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数）化为普通方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x（x＞0）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴点P的直角坐标是（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），∴④错误．
综上，正确的命题为①②．
故答案为：①②．

点评 本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的应用问题，是综合性题目．