Question

18．在数列{a_n}中，a_n＞0，且S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜测出a_n的关系式并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）利用s_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），代入计算，可得结论；
（2）猜想a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N^*．然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（1）a₁=S₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），解得a₁=1，a₁+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），解得a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
（2）猜想a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，（n∈n^*）．
①当n=1时，验证成立，
②假设当n=k时也成立，即a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$，
那么当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$-a_k-$\frac{1}{{a}_{k}}$），即a_k+1-$\frac{1}{{a}_{k+1}}$=-（a_k+$\frac{1}{{a}_{k}}$）=-（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$）=-2$\sqrt{k}$，
设a_k+1=x，（x＞0），
∴x-$\frac{1}{x}$=-2$\sqrt{k}$，即x²+2$\sqrt{k}$x-1=0，
解得x=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，
∴a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，
∴当n=k+1时猜想也成立；
根据①②可知猜想对于任意n∈N^*都成立．

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法．