Question

13．将一个四面体PABC铁皮盒沿侧棱PA，PB，PC剪开，展平后恰好成一个正三角形．
（Ⅰ）在四面体PABC中，求证：PA⊥BC．
（Ⅱ）若$PA=\sqrt{2}$，求铁皮盒的容积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）四面体PABC为正四面体，取BC的中点O，连接PO，AO，则PO⊥BC，AO⊥BC，可得BC⊥平面PAO，即可证明PA⊥BC．
（Ⅱ）$PA=\sqrt{2}$，则四面体PABC的底面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，高为$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，利用体积公式，即可求铁皮盒的容积．

解答 （Ⅰ）证明：∵将一个四面体PABC铁皮盒沿侧棱PA，PB，PC剪开，展平后恰好成一个正三角形，
∴四面体PABC为正四面体，
取BC的中点O，连接PO，AO，则PO⊥BC，AO⊥BC，
又∵PO∩AO=O，
∴BC⊥平面PAO，
∵PA?平面PAO，
∴PA⊥BC．
（Ⅱ）解：$PA=\sqrt{2}$，则四面体PABC的底面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，高为$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴铁皮盒的容积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．