Question

6．已知f（x）=2asin（$\frac{π}{6}$-2x）+2a+b，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．
（1）是否存在常数A、b∈Q，使得f（x）的值域为{y|-3≤y≤$\sqrt{3}$-1}？若存在，求出A、B的值；若不存在，说明理由．
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，可得sin（$\frac{π}{6}$-2x）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．分①当a＞0时、②当a＜0时两种情况分别求得a、b的值，从而得出结论．
（2）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调区间．

解答 解：（1）存在a=1，b=-3，满足条件．
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴$\frac{π}{6}$-2x∈[-$\frac{4π}{3}$，-$\frac{π}{3}$]，
∴sin（$\frac{π}{6}$-2x）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
2sin（$\frac{π}{6}$-2x）∈[-2，$\sqrt{3}$]．
若存在这样的有理数a、b，则
①当a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}a+2a+b=\sqrt{3}-1}\\{-2a+2a+b=-3}\end{array}\right.$，解得a=1，b=-3，
②当a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}a+2a+b=-3}\\{-2a+2a+b=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=$\sqrt{3}-$1，
故存在a=1，b=-3，满足条件．
（2）由（1）可得f（x）=2asin（$\frac{π}{6}$-2x）-1，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．
也即f（x）=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]．
由由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z．
∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{3π}{4}$]．
∴$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{3}$．
∴函数f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]．
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，得$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z．
∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{3π}{4}$]．
∴$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{3π}{4}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]．

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，要求熟练掌握三角函数的性质，是中档题．