Question

14．等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₅=a₄+2a₃，若存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁，则$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 由a₅=a₄+2a₃ 求得q=2，代入$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₁得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．

解答 解：由各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₅=a₄+2a₃，
可得a₃q²=a₃q+2a₃，
∴q²-q-2=0，∴q=2．
∵$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=a₁，
∴a_m•a_n=a₁²
∴a_m•a_n=${{a}_{1}}^{2}$•2^m+n-2=16${{a}_{1}}^{2}$，
∴2^m+n-2=16，
∴m+n=6，即$\frac{1}{6}$（m+n）=1，（m∈N^*，n∈N^*），
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）×$\frac{1}{6}$（m+n）=$\frac{1}{6}$（1+4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}×\frac{4m}{n}}$）=$\frac{1}{6}$×9=$\frac{3}{2}$（当且仅当$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$，即n=2m时取，即m=2，n=4时取等号）
故选：A

点评 本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，根据等比数列的通项公式求出公比是解决本题的关键．属于中档题．