Question

2．已知函数$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x-{sin^2}x$
（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用可得$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，利用周期公式可求最小正周期，令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，（k∈Z）$，可得单调增区间．
（2）由$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，可得$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，利用正弦函数的性质从而可求函数f（x）的值域．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$--------------（4分）
∴f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$，--------------（6分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，（k∈Z）$，
可得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，（k∈Z）$，
∴函数f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]，（k∈Z）$；------------（8分）
（2）∵$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，
∴$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴函数f（x）的值域为[-1，2]------------（14分）

点评 本题主要考查了周期公式，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．