Question

12．已知函数$f（x）=3sin（ωx-\frac{π}{6}）$（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+ϕ）+1（0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$）的图象的对称轴完全相同．若${x_1}，{x_2}∈[0，\frac{π}{2}]$，则f（x₁）-g（x₂）的取值范围是[-$\frac{7}{2}$，4]．

Answer 1

分析 由图象的对称轴完全相同，可得周期均为π，则ω=2，求得对称轴，计算可得Φ=$\frac{π}{3}$，再由x的范围，分别求得f（x），g（x）的值域，即可得到的最小值和最大值，进而得到范围．

解答 解：由图象的对称轴完全相同，
可得周期均为π，则ω=2，
由2x-$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
2x+Φ=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{Φ}{2}$，k∈Z，
由于0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，则$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{Φ}{2}$，k∈Z，
解得Φ=$\frac{π}{3}$，
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{3}{2}$，3]；
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1∈[-1，2]，
则f（x₁）-g（x₂）的最小值为-$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{7}{2}$，
最大值为3-（-1）=4，
即有取值范围是[-$\frac{7}{2}$，4]．
故答案为：[-$\frac{7}{2}$，4]．

点评 本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的对称性和最值的求法，属于中档题．