Question

17．设曲线f（x）=xⁿe^x在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＞ax+1对x∈（-∞，-1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得方程，可得n=2，再令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）由题意可得x²e^x＞ax+1对x∈（-∞，-1）恒成立，在x＜-1时，y=x²e^x的图象恒在直线y=ax+1的上方，画出它们的图象，求出x=-1时的交点，通过图象观察即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=xⁿe^x的导数为f′（x）=（nx^n-1+xⁿ）e^x，
由题意可得f′（1）=（n+1）e=3e，
解得n=2，
即有f（x）=x²e^x，
导数为f′（x）=（2x+x²）e^x，
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，令f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，
即有f（x）的增区间为（-∞，-2），（0，+∞），减区间为（-2，0）；
（2）f（x）＞ax+1对x∈（-∞，-1）恒成立，
即为x²e^x＞ax+1对x∈（-∞，-1）恒成立，
即有在x＜-1时，y=x²e^x的图象恒在直线y=ax+1的上方，
画出y=x²e^x的图象，直线y=ax+1恒过定点（0，1），
观察x＜-1的图象，可得x=-1时，y=$\frac{1}{e}$，此时a=1-$\frac{1}{e}$，
当直线的斜率a≥1-$\frac{1}{e}$时，y=x²e^x的图象恒在直线y=ax+1的上方，
故实数a的取值范围是[1-$\frac{1}{e}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，考查不等式恒成立问题，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．