Question

2．在△ABC中，若AB=2，AC²-2BC²=1，则此三角形面积的最大值为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理、二次函数的图象和性质、三角形的面积计算公式即可得出答案．

解答 解：∵AB=c=2，AC²-2BC²=b²-2a²=1，
∴c²=4，b²=2a²+1，
∴三角形面积：S=$\frac{1}{2}$absinC
=$\frac{1}{2}$ab$\sqrt{1-{cos}^{2}c}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}（\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2ab}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}{（\frac{{a}^{2}+1+2{a}^{2}-4}{2ab}）}^{2}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}{（\frac{3{a}^{2}-3}{2ab}）}^{2}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}（1+2{a}^{2}）-\frac{9{a}^{4}-18{a}^{2}+9}{4}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-{a}^{4}+22{a}^{2}-9}{4}}$
=$\frac{1}{4}\sqrt{-{（{a}^{2}-11）}^{2}+112}$≤$\frac{1}{4}\sqrt{112}$=$\sqrt{7}$，
即三角形面积的最大值为$\sqrt{7}$，
故答案为：$\sqrt{7}$

点评 本题考查的知识点是三角形的面积公式，余弦定理，二次函数的图象和性质，难度中档．