Question

12．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x的值，并求其单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由函数图象的顶点的纵坐标求出A，由周期为π可解ω，把点（1，2）代入可解φ的值，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）由（1）可求得y=f（x）+f（x+2）=2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$x．由2k$π-\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z解得单调递增区间，从而可求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x的值．

解答 解：（1）由函数图象的顶点的纵坐标求出A=2，由周期为8可解ω=$\frac{π}{4}$，
故f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ）．
把点（1，2）代入y=Asin（ωx+φ）可得，2=2sin（$\frac{π}{4}$+φ），
解得sin（$\frac{π}{4}$+φ）=1，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
故φ=$\frac{π}{4}$，
故f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）∵y=f（x）+f（x+2）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）+2sin[$\frac{π}{4}$（x+2）+$\frac{π}{4}$]=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）-2cos（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$x．
∴由2k$π-\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{4}$x≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间为：[8k-2，8k+2]，k∈Z．
∴当x=8k-2，k∈Z时，y=f（x）+f（x+2）的最小值为-2$\sqrt{2}$．当x=8k+2，k∈Z时，y=f（x）+f（x+2）的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．