Question

2．已知$α∈（0，\frac{π}{4}）$，β∈（0，π）且tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tan$β=-\frac{1}{7}$，求2α-β的值．

Answer 1

分析 由条件先利用两角和差的正切公式求得 tanα=tan[（α-β）+β]的值，从而求得tan（2α-β）=tan[α+（α-β）]的值，再结合2α-β的范围，求得2α-β的值．

解答 解：∵tanα=tan[（α-β）+β]=$\frac{tan（α-β）+tanβ}{1-tan（α-β）tanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{2}•（-\frac{1}{7}）}$=$\frac{1}{3}$，
tan（2α-β）=tan[α+（α-β）]=$\frac{tanα+tan（α-β）}{1+tanα•tan（α-β）}$=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}$=1，
又已知$α∈（0，\frac{π}{4}）$，β∈（0，π），tan$β=-\frac{1}{7}$＜0，
∴β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴2α-β∈（-π，0）．
∴2α-β=-$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查两角和差的正切公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．