Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）分别求f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$），f（4）+f（$\frac{1}{4}$）的值；
（2）归纳猜想一般性结论，并给出证明；
（3）求值：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）．

Answer 1

分析 （1）分别代入计算即可，求出f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$），f（4）+f（$\frac{1}{4}$）的值，
（2）猜想：f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1，由于f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，得到f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，故（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，猜想成立，
（3）由（2）的结论，即可求出．

解答 解：（1）f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=1，f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=1，f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=1，
（2）猜想：f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1，
证明：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{（\frac{1}{x}）^{2}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$．
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=1，
∴f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1，
（3）由（2）知f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$），
=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（2015）+f（$\frac{1}{2015}$）]，
=$\frac{1}{2}$+1024，
=$\frac{2049}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，以及归纳探索规律的问题，属于中档题．