Question

6．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD=4，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）求三棱锥D-PBC的高．

Answer 1

分析 （1）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}AD$，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；
（2）利用等积法，得到V_D-PBC=B_P-BCD，分别求出对应的底面积和高，解方程即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠DAB=60°，AB=2AD=4，
∴余弦定理得BD=$\sqrt{3}AD$=2$\sqrt{3}$，
从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，
∴BD⊥平面PAD．
故PA⊥BD．
（2）∵BD⊥AD，
∴△BCD是直角三角形，
∵BD⊥AD，PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥BC，BC⊥BD，
则BC⊥平面PBD，
∴BC⊥PB，
即△PBC是直角三角形，
∵AB=2AD=2PD=4，
∴CD=4，AD=2，PD=2，PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}$=4
则S_△BCD=$\frac{1}{2}$BD•BC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
S_△PBC=$\frac{1}{2}$PB•BC=$\frac{1}{2}×4×2$=4，
设三棱锥D-PBC的高为h，
则V_D-PBC=B_P-BCD，
即$\frac{1}{3}$PD•S_△BCD=$\frac{1}{3}$hS_△PBC，
即2×$2\sqrt{3}$=4h，
则h=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查线面垂直的性质定理和判定定理，棱锥高的求解，利用体积相等，建立方程关系是解决本题的关键．