Question

16．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数），极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，直线l与曲线C相交于A、B两点，则弦长|AB|=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，化为ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数），化为标准方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，
代入抛物线方程可得：3m²-8m-16=0，利用|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$即可得出．

解答 解：曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，化为ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程：y²=4x．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数），化为标准方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，
代入抛物线方程可得：3m²-8m-16=0，
∴m₁+m₂=$\frac{8}{3}$，m₁m₂=$-\frac{16}{3}$．
∴|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}-4×（-\frac{16}{3}）}$=$\frac{16}{3}$．
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．