Question

6．设f（x）=-x²-ax+1，g（x）=$\frac{（ax^2+x+a）}{{x}^{2}}$，
（1）若f（x）+b=0在[1，2]上有两个不等实根，求g（1）+b的取值范围；
（2）若存在x₁∈[1，2]，使得对任意的x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）+b=x²+ax-b-1，g（1）+b=2a+b+1=f（-2）+b+4，设f（x）+b=-（x-x₁）（x-x₂），x₁≠x₂，x₁，x₂∈[1，2]，令x=-2，即可求g（1）+b的取值范围；
（2）将问题转化为（f（x））_max≥g（x），对x∈[$\frac{1}{2}$，1]，恒成立．对a进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）f（x）+b=-x²-ax+b+1，g（1）+b=2a+b+1=f（-2）+b+4，
设f（x）+b=-（x-x₁）（x-x₂），x₁≠x₂，x₁，x₂∈[1，2]
令x=-2，则f（-2）+b=-（2-x₁）（2-x₂）∈（-16，-9），
∴g（1）+b∈（-12，-5）；
（2）由题意，问题转化为（f（x））_max≥g（x），对x∈[$\frac{1}{2}$，1]，恒成立．
对函数g（x）=$\frac{（ax^2+x+a）}{{x}^{2}}$，令$\frac{1}{x}$=t∈[1，2]，
g（x）=$\frac{（ax^2+x+a）}{{x}^{2}}$=h（t）=at²+t+a，
则问题转化为：（f（x））_max≥h（t），t∈[1，2]恒成立．
∵（f（x））_max=$\left\{\begin{array}{l}{-2a-3，a≤-4}\\{\frac{{a}^{2}}{4}+1，-4＜a＜-2}\\{-a，a≥-2}\end{array}\right.$，
①当a≤-4时，-2a-3≥at²+t+a对t∈[1，2]恒成立，
则a≤-$\frac{t+3}{{t}^{2}+3}$对t∈[1，2]恒成立，
得a≤-$\frac{4}{3}$，得a≤-4；…（6分）
②当-4＜a＜-2时，$\frac{{a}^{2}}{4}$+1≥at²+t+a对t∈[1，2]恒成立，
则H（t）=at²+t+a-1-$\frac{{a}^{2}}{4}$≤0对t∈[1，2]恒成立，
关于t的二次函数的对称轴在[-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$]之间，开口向下，
则H（1）≤0，
得a≤0，a≥8，即得-4＜a＜-2；
③当a≥-2时，-a≥at²+t+a对t∈[1，2]恒成立，
则a≤$\frac{-t}{{t}^{2}+2}$对t∈[1，2]恒成立，
得a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，得-2≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
综上，得满足题意的a的范围是：a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，恒成立问题，函数的最值，分类讨论思路，分段函数的应用，综合性强，分类复杂，运算强度较大，属于难题．