Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$）（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[0，2π]时，求函数f（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，由周期公式可得函数f（x）的最小正周期．
（2）由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$即可解得f（x）的单调增区间．
（3）令f（x）=0得：sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，从而解得x=k$π+\frac{π}{12}$或x=k$π-\frac{π}{4}$，k∈Z．又x∈[0，2π]，即可得函数f（x）的零点．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{6}）+2×\frac{1-cos（2x-\frac{π}{6}）}{2}$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．…（3分）
（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．                              …（4分）
（2）因为函数y=sinx的单调增区间为：[2k$π-\frac{π}{2}$，2k$π+\frac{π}{2}$]，k∈Z．
所以由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$得：k$π-\frac{π}{12}$≤x≤k$π+\frac{5π}{12}$，k∈Z．                    …（7分）
所以f（x）的单调增区间为：[k$π-\frac{π}{12}$，k$π+\frac{5π}{12}$]，k∈Z       …（10分）
（3）令f（x）=0得：sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
所以2x-$\frac{π}{3}$=2k$π-\frac{π}{6}$或2x-$\frac{π}{3}$=2k$π-\frac{5π}{6}$，k∈Z．
即：x=k$π+\frac{π}{12}$或x=k$π-\frac{π}{4}$，k∈Z．             …（12分）
又x∈[0，2π]，所以函数f（x）的零点为：$\frac{π}{12}，\frac{13π}{12}，\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}$．…（14分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．