Question

11．设a＞0，b＞0，2c＞a+b，求证：
（1）c²＞ab；
（2）c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$．

Answer 1

分析 （1）根据基本不等式的证明即可证明c²＞ab；
（2）利用分析法进行证明．

解答 证明：（1）∵a＞0，b＞0，2c＞a+b$≥2\sqrt{ab}$，
∴c＞$\sqrt{ab}$，
平方得c²＞ab；
（2）要证c-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a＜c+$\sqrt{{c}^{2}-ab}$．
只要证-$\sqrt{{c}^{2}-ab}$＜a-c＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$．
即证|a-c|＜$\sqrt{{c}^{2}-ab}$，
即（a-c）²＜c²-ab，
∵（a-c）²-c²+ab=a（a+b-2c）＜0成立，
∴原不等式成立．

点评 本题主要考查不等式的证明，利用不等式的性质结合分析法是解决本题的关键．