Question

1．已知三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2$\sqrt{6}$，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为3π．

Answer 1

分析 根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，设内切球的球心为O'，半径为r，连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等，然后根据等积法计算得到半径r，再由球的表面积公式计算即可得到．

解答 解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，设棱长为a，
PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，OP=$\sqrt{P{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．
则OD+PD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a=2$\sqrt{6}$⇒a=3$\sqrt{2}$，
V_棱锥=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=9，
设内切球的球心为O'，半径为r，
连接三棱锥的四个顶点得到四个小三棱锥的体积相等，
即为4×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×18r=6$\sqrt{3}$r．
由等积法，可得，9=6$\sqrt{3}$r，
解得，r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
则内切球的表面积为S=4πr²=3π．
故答案为：3π．

点评 本题主要考查球的表面积的求法，考查等积法的运用，考查三棱锥的体积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．