Question

6．关于x的一元二次不等式ax²+（a+b）x+b＞0的解集为（-2，-1）．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）解关于x不等式（bx-2）（x-a）＞0．

Answer 1

分析 （1）根x的一元二次不等式ax²+（a+b）x+b＞0的解集为（-2，-1）．利用韦达定理求出a，b的关系，
（2）再代入不等式（bx-2）（x-a）＞0，分类讨论即可求得结论．

解答 解：（1）∵ax²+（a+b）x+b＞0的解集为（-2，-1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2-1=-\frac{a+b}{a}}\\{-2×（-1）=\frac{b}{a}}\\{a＜0}\end{array}\right.$
∴b=2a，a＜0，
（2）由（1）值，关于x不等式（bx-2）（x-a）＞0．可化为（2ax-2）（x-a）＞0，即为（x-$\frac{1}{a}$）（x-a）＜0，
∵a＜0，
当-1＜a＜0时，a＞$\frac{1}{a}$，解得$\frac{1}{a}$＜x＜a，故原不等式的解集为（$\frac{1}{a}$，a），
当a＜-1时，a＜$\frac{1}{a}$，解得a＜x＜$\frac{1}{a}$，故原不等式的解集为（a，$\frac{1}{a}$）．

点评 本题考查了一元二次不等式的知识，解题关键是利用根与系数的关系得出第二个不等式的各项的系数，在解答此类题目时要注意与一元二次方程的结合．