Question

1．已知△ABC的内角A、B、C成等差数列，若不等式$λ+\frac{4\sqrt{3π}}{3}＜\frac{1}{A}+\frac{1}{C}-{A}^{2}-{C}^{2}$对任意A、C都成立，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． （-$∞，-\frac{4{π}^{2}}{9}$）
• B． （$-∞，\frac{4{π}^{2}}{9}-\frac{4\sqrt{3π}}{3}$）
• C． （$-∞，\frac{6}{π}-\frac{2{π}^{2}}{9}-\frac{4\sqrt{3π}}{3}$）
• D． （-∞，$\frac{6}{π}-\frac{2{π}^{2}}{9}$）

Answer 1

分析 由内角A、B、C成等差数列，可解得：A+C=$\frac{2π}{3}$，原式整理可得λ＜$\frac{A+C}{AC}+2AC-（A+C）^{2}$-$\frac{4\sqrt{3π}}{3}$，利用基本不等式可解得λ的范围．

解答 解：∵△ABC的内角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，可解得：B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．
∴$λ+\frac{4\sqrt{3π}}{3}＜\frac{1}{A}+\frac{1}{C}-{A}^{2}-{C}^{2}$
⇒λ＜$\frac{A+C}{AC}-（{A}^{2}+{C}^{2}）$-$\frac{4\sqrt{3π}}{3}$，
⇒λ＜$\frac{A+C}{AC}+2AC-（A+C）^{2}$-$\frac{4\sqrt{3π}}{3}$，
⇒λ＜2$\sqrt{2（A+C）}$-（A+C）²-$\frac{4\sqrt{3π}}{3}$，
⇒λ＜2$\sqrt{\frac{4π}{3}}$-$\frac{4{π}^{2}}{9}$-$\frac{4\sqrt{3π}}{3}$，
⇒λ＜-$\frac{4{π}^{2}}{9}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，基本不等式的解法，三角形内角和定理，属于基本知识的考查．