Question

20．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为2-$\sqrt{3}$，那么b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a²+c²=4b²-2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a²+c²=4b²-2ac．代入余弦定理求得b的值．

解答 解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c．
平方得a²+c²=4b²-2ac．
又△ABC的面积为2-$\sqrt{3}$，且∠B=30°，
故由S_△=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•sin30°=$\frac{1}{4}$ac=2-$\sqrt{3}$，
得ac=8-4$\sqrt{3}$，
∴a²+c²=4b²-16+8$\sqrt{3}$．
由余弦定理
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3{b}^{2}-16+8\sqrt{3}}{16-8\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
解得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了解三角形的问题．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识，属于中档题．