Question

11．若函数f（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，f^（2）（x）=f[f（x）]，f^（3）（x）=f（f（f（x））），则f^（99）（1）=$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 由已知中f^（n）（x）=f[f^（n-1）（x）]，函数f（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，逐项求出f^（n）（1）并分析规律，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，f^（2）（x）=f[f（x）]，f^（3）（x）=f（f（f（x））），…
∴函数f（1）=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
f^（2）（1）=f（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
f^（3）（1）=f（$\frac{1}{\sqrt{3}}$）=$\frac{1}{2}$，
f^（4）（1）=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
…
∴f^（n）（1）=$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
∴f^（99）（1）=$\frac{1}{\sqrt{99+1}}$=$\frac{1}{10}$，
故答案为：$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查的知识点是函数的值，其中分析出f^（n）（1）值的变化规律，是解答的关键．