Question

19．已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1（n∈N⁺）．若不等式$\frac{λ}{{{a_{n+1}}}}$≤$\frac{{n+8•{{（-1）}^n}}}{2n}$对任意的n∈N⁺恒成立，则实数λ的最大值为$-\frac{21}{2}$．

Answer 1

分析 通过在a_n²=S_2n-1中令n=1、2，计算可知数列的通项a_n=2n-1，进而问题转化为求f（n）=$\frac{（2n+1）[n+8•（-1）^{n}]}{2n}$的最小值，对n的值分奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：∵a_n²=S_2n-1，
∴a₁²=S₁=a₁，
又∵a_n≠0，
∴a₁=1，
又∵a₂²=S₃=3a₂，
∴a₂=3或a₂=0（舍），
∴数列{a_n}的公差d=a₂-a₁=3-1=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴不等式$\frac{λ}{{{a_{n+1}}}}$≤$\frac{{n+8•{{（-1）}^n}}}{2n}$对任意的n∈N⁺恒成立，
即不等式$\frac{λ}{2n+1}$≤$\frac{{n+8•{{（-1）}^n}}}{2n}$对任意的n∈N⁺恒成立，
∴λ小于等于f（n）=$\frac{（2n+1）[n+8•（-1）^{n}]}{2n}$的最小值，
①当n为奇数时，f（n）=$\frac{（2n+1）（n-8）}{2n}$=n-$\frac{4}{n}$-$\frac{15}{2}$随着n的增大而增大，
∴此时f（n）_min=f（1）=1-4-$\frac{15}{2}$=$-\frac{21}{2}$；
②当n为偶数时，f（n）=$\frac{（2n+1）（n+8）}{2n}$=n+$\frac{4}{n}$+$\frac{17}{2}$＞$\frac{17}{2}$，
∴此时f（n）_min＞$\frac{17}{2}$＞$-\frac{21}{2}$；
综合①、②可知λ≤$-\frac{21}{2}$，
故答案为：$-\frac{21}{2}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．