Question

4．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，都满足f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（$\frac{1}{2}$）=1，a_n=$\frac{f（{2}^{-n}）}{n}$．
（1）求f（$\frac{1}{4}$）、f（$\frac{1}{8}$）、f（$\frac{1}{16}$）的值；
（2）猜测数列{a_n}通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，即可求出f（$\frac{1}{4}$）、f（$\frac{1}{8}$）、f（$\frac{1}{16}$）的值；
（2）由（1）可猜测：f（2^-n）=f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）=n×（$\frac{1}{2}$）^n-1，下用数学归纳法证明即可，即可得到a_n=$\frac{f（{2}^{-n}）}{n}$=$\frac{n×（\frac{1}{2}）^{n-1}}{n}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1

解答 解：（1）f（$\frac{1}{4}$）=f（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=1，
f（$\frac{1}{8}$）=f（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，
f（$\frac{1}{16}$）=f（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{8}$）+$\frac{1}{8}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）可猜测：f（2^-n）=f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）=n×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
下用数学归纳法证明：
当n=1时，左边=f（2^-1）=f（$\frac{1}{2}$）=1，右式=1×（$\frac{1}{2}$）⁰=1，∴n=1时，命题成立．
假设n=k时，命题成立，即：f（2^-k）=f（$\frac{1}{{2}^{k}}$）=k×（$\frac{1}{2}$）^k-1，
则n=k+1时，左边=f（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{k}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{2}^{k}}$）+$\frac{1}{{2}^{k}}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$×k×（$\frac{1}{2}$）^k-1+$\frac{1}{{2}^{k}}$×1=k×（$\frac{1}{2}$）^k+$\frac{1}{{2}^{k}}$=（k+1）×（$\frac{1}{2}$）^（k+1）-1
∴n=k+1时，命题成立．
综上可知：对任意n∈N^*都有f（2^-n）=f（$\frac{1}{{2}^{n}}$）=n×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
所以：a_n=$\frac{f（{2}^{-n}）}{n}$=$\frac{n×（\frac{1}{2}）^{n-1}}{n}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1

点评 本题主要考查数学归纳法的应用，考查数列的通项公式，正确运用数学归纳法是关键，属于中档题．