Question

9．已知函数f（x）=x|x-a|+b（x∈R）
（Ⅰ）当0≤x≤a时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，求不等式f（x）≥|x|的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当0≤x≤a时，f（x）=-x（x-a）+b=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b，即可求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，分类讨论，即可求不等式f（x）≥|x|的解集．

解答 解：（Ⅰ）当0≤x≤a时，f（x）=-x（x-a）+b=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b，
∴x=$\frac{a}{2}$时，函数f（x）的最大值为$\frac{{a}^{2}}{4}$+b；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，不等式f（x）≥|x|为x|x-1|-1≥|x|
x＜0时，不等式可化为x²-2x+1≤0，∴x=1，不满足；
0≤x≤1时，不等式可化为x²+1≤0，不满足；
x＞1时，不等式可化为x²-2x-1≥0，∴x≥1+$\sqrt{2}$，
∴不等式f（x）≥|x|的解集为{x|x≥1+$\sqrt{2}$}．

点评 本题考查绝对值函数，考查配方法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．