Question

19．已知函数f（x）=x²-2lnx若关于x的不等式f（x）-m≥0在[1，e]有实数解，则实数m的取值范围为（-∞，e²-2]．

Answer 1

分析 将不等式f（x）-m≥0转化为f（x）≥m有解，然后利用导数求函数f（x）在[1，e]的最大值，则实数m的范围可求．

解答 解：由f（x）-m≥0，得f（x）≥m，
函数f（x）=x²-2lnx的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（{x}^{2}-1）}{x}$，
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，即函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（1）≤f（x）≤f（e），即1≤f（x）≤e²-2，
要使f（x）-m≥0在[1，e]有实数解，则有m≤e²-2．
故答案为：（-∞，e²-2]．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及最值问题，考查数学转化思想方法，是中档题．