Question

4．设θ为第二象限角，若$tan（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{1}{3}$，则tanθ=-$\frac{1}{2}$；sinθ+cosθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先根据两角和差的正切公式，求出tanθ=-$\frac{1}{2}$，继而得到2sinθ=-cosθ，再根据sin²θ+cos²θ=1，求出sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，问题得以解决．

解答 解：tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanθ+tan\frac{π}{4}}{1-tanθtan\frac{π}{4}}$=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$=$\frac{1}{3}$，
解得tanθ=-$\frac{1}{2}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{1}{2}$，
∴2sinθ=-cosθ，
∵sin²θ+cos²θ=5sin²θ=1，θ为第二象限角
∴sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinθ+cosθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了两角和差的正切公式，正弦和余弦的关系，属于基础题．