Question

9．已知函数$f（x）=cosx（\sqrt{3}sinx+{cos^3}x）+sinx（\sqrt{3}cosx-{sin^3}x）$
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的三边依次为a，b，c，若a²+c²=ac+b²，f（A）=0，b$+c=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得f（x）的单调递增区间．
（2）由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，可得：B=60°．由f（A）=0，可得2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=0，解得A，C的值，由$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$与b+c=$\sqrt{2}+\sqrt{3}$联立可得b，c的值．

解答 解：（1）经化简得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
（2）由a²+c²=ac+b²，可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，可得：B=60°．
由f（A）=0，可得2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=0，解得A=75°．
∴C=180°-75°-60°=45°，
∴$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$与b+c=$\sqrt{2}+\sqrt{3}$联立可得：b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．