Question

12．先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证a₁²+a₂²≥$\frac{1}{2}$．
【证明】构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²
则f（x）=2x²-2（a₁+a_2）x+a₁²+a₂^2
=2x²-2x+a₁²+a₂²
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0．
所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，从而得a₁²+a₂²≥$\frac{1}{2}$，
（1）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

Answer 1

分析 （1）由已知中已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证a₁²+a₂²≥$\frac{1}{2}$，及整个式子的证明过程，我们根据归纳推理可以得到一个一般性的公式，若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，则a₁²+a₂²+…+a_n²≥$\frac{1}{n}$．
（2）但此公式是由归纳推理得到的，其正确性还没有得到验证，观察已知中的证明过程，我们可以类比对此公式进行证明．

解答 解：（1）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，
求证：a₁²+a₂²+…+a_n²≥$\frac{1}{n}$，
（2）证明：构造函数
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²
=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
=nx²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²
因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
从而证得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥$\frac{1}{n}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．（3）对归纳得到的一般性结论进行证明．