Question

3．设等差数列{a_n}中，a₁₀=23，a₂₅=-22．
（1）设S_n为等差数列{a_n}的前n项的和，求使S_n取最大值时的n的值．
（2）求使S_n＜0的最小的n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式可得公差d，利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（2）由S_n＜0，解出即可；

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁₀=23，a₂₅=-22，
∴a₂₅=a₁₀+15d，
∴-22=23+15d，解得d=-3．
∴a_n=a₁₀+（n-10）d=23-3（n-10）=53-3n．
令a_n＜0，解得$n＞\frac{53}{3}$=17+$\frac{2}{3}$，
因此该数列从第18项开始为负数．
当n=17时，S_n取的最大值．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（50+53-3n）}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}+103n}{2}$．
由S_n＜0，可得-3n²+103n＜0，解得$n＞\frac{103}{3}$=34+$\frac{1}{3}$，
∴使S_n＜0的最小的正整数n=35．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．