Question

8．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；         
（2）求证：$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{S_k}}＜\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=8{a}_{1}+4d}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2{a}_{1}+2（n-1）d+1}\end{array}\right.$，进而可得结论；
（2）通过（1）可知S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，通过放缩、裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$＜2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1得：
$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=8{a}_{1}+4d}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2{a}_{1}+2（n-1）d+1}\end{array}\right.$，
解得：a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N^*；
（2）证明：由（1）可知：S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
∵$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{4{n}^{2}-1}$=2（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{k}}$＜1+2（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
＜1+$\frac{2}{3}$
=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．