Question

18．已知函数f（x）的导函数为f′（x）=x²+2cosx且f（0）=0，则不等式f（2-a²）+f（-a）＞0的解集为（-2，1）．

Answer 1

分析 根据函数的导数f′（x）=x²+2cosx，求出函数f（x）的解析式，判断函数f（x）的奇偶性和单调性即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）的导函数为f′（x）=x²+2cosx，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2sinx+c，
∵f（0）=0，
∴f（0）=c=0，
则f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2sinx，
则函数f（x）是奇函数，且函数f（x）为增函数，
则不等式f（2-a²）+f（-a）＞0等价为f（2-a²）-f（a）＞0，
即f（2-a²）＞f（a），
即2-a²＞a，即a²+a-2＜0，
j解得-2＜a＜1，
故答案为：不等式的解集为（-2，1），
故答案为：（-2，1）

点评 本题主要考查不等式的求解，函数的单调性与导数的关系，以及函数的单调性和奇偶性，同时考查了计算能力，属于中档题