Question

13．已知函数f（x）=msinx+$\sqrt{2}$cosx，（m＞0）的最大值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-2，-1]∪（2，6）上的值域；
（Ⅱ）已知△ABC外接圆半径R=$\sqrt{3}$，f（A-$\frac{π}{4}$）+f（B-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{6}$sinAsinB，角A，B所对的边分别是a，b，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，f（x）的最大值为$\sqrt{{m}^{2}+2}$，所以$\sqrt{{m}^{2}+2}$=2．解之即可得m=$\sqrt{2}$，从而得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）．显然f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）在$[0，\frac{π}{4}]$上递增．在 $[\frac{π}{4}，π]$递减，所以函数f（x）在[0，π]上的值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
（2）化简f（A-$\frac{π}{4}$）+f（B-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{6}$sinAsinB得sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB．由正弦定理，得2R（a+b）=2$\sqrt{6}ab$，因为△ABC的外接圆半径为R=$\sqrt{3}$．a+b=$\sqrt{2}ab$．两边除以ab得，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{2}$．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）f（x）=msinx+$\sqrt{2}$cosx=$\sqrt{{m}^{2}+2}$sin（x+φ），（其中tanφ=$\frac{\sqrt{2}}{m}$），
由题意，f（x）的最大值为$\sqrt{{m}^{2}+2}$，所以$\sqrt{{m}^{2}+2}$=2．         （2分）
而m＞0，于是m=$\sqrt{2}$，f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）．             （4分）
在$[0，\frac{π}{4}]$上递增．在 $[\frac{π}{4}，π]$递减，
所以函数f（x）在[0，π]上的值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；             （5分）
（2）化简f（A-$\frac{π}{4}$）+f（B-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{6}$sinAsinB得：sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB．  （7分）
由正弦定理，得2R（a+b）=2$\sqrt{6}ab$，（9分）
因为△ABC的外接圆半径为R=$\sqrt{3}$．a+b=$\sqrt{2}ab$．          （11分）
所以 $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\sqrt{2}$                         （12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质的应用，属于基本知识的考查．