Question

8．已知$f（x）=2cosxsin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}{sin^2}x+sinxcosx+1$
①求函数f（x）的最小正周期和函数的单调增区间；
②当$x∈[0，\frac{5}{12}π]$时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx+1，利用和角公式，以及二倍角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用周期公式直接求出f（x）的最小正周期；利用y=sinx的单调增区间，求出f（x）的单调增区间即可；
（2）当x∈[0，$\frac{5}{12}π$]时，求出2x+$\frac{π}{3}$的范围，然后求出2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的范围就是 求f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$（sinx）²+sinxcosx+1
=2cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\sqrt{3}$cosx）-$\sqrt{3}$（sinx）²+sinxcosx+1
=$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）+2sinxcosx+1
=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1
因为ω=2，所以T=π，
所以函数的最小正周期是π．
y=sinx的单调增区间是[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]k∈Z，
由2x+$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z得：
2x∈[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
即x∈[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
即函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
（2）x∈[0，$\frac{5}{12}π$]，则2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
所以sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1∈[0，3]，
所以函数的值域为：[0，3]．

点评 本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．